[최소 신장 트리] Mimimum spanning tree

정의

• Spanning Tree

1. 그래프 내의 모든 정점을 포함하는 트리를 말합니다.
2. 최소 연결 부분 그래프입니다. 최소 연결이라는 것은 가장 적은 수의 간선으로 모든 정점을 연결한 것을 의미합니다.
3. N개의 노드가 있으면 이들 모두를 연결하는 최소 에지는 N-1개입니다. N개의 에지가 N-1개의 간선으로 연결되어 있으면 이것이 바로 Spanning-tree입니다.

-Minimum Spanning Tree

Spanning tree인데, N개의 노드를 연결하는 N-1개의 간선들의 가중치의 합이 최소가 되도록 선택된 경우를 말합니다.

구현

• Spanning Tree

1. DFS와 BFS를 사용해서 구현합니다. 모든 정점을 한 번씩만 방문하는 두 알고리즘으로 노드를 찾고, 이 과정에서 사용된 에지들을 모두 연결하면 됩니다. (DFS와 Stack을 이용해서 위상 순서를 정렬했던 위상정렬보다 더 간단한 개념이네요.)
2. 싸이클이 있는 경우 Spanning 트리의 정의를 벗어납니다. 싸이클에서 하나의 간선을 지워도 모든 노드들이 연결되어 있기 때문입니다. 이 때문에 (싸이클이 없어야하는) Spanning 트리는 정확히 N-1개의 간선을 가집니다. 양 방향 그래프에서 모든 노드에 대해, 한 노드에서 다른 한 노드로 가는 경로가 단 하나뿐이라면 이 그래프는 싸이클이 존재하지 않습니다.

활용

Spanning tree는 모든 도시들을 통행할 수 있는 최소의 도로를 만드는 문제로 생각할 수 있습니다. 네트워크, 수도 등 다양한 자원의 분배 문제에서 적용될 수 있습니다.

Minimun Spanning Tree

MST를 구현하는 방법으로는 두 가지가 있습니다.

1. Kruskal
2. Prim

다음 포스팅은 위 두 가지 알고리즘에 대한 것입니다.

참조

1. gmlwjd9405.github.io